在前面文章中介绍了两因素重复测量方差分析(Two-way Repeated-Measures ANOVA)的假设检验理论，本篇文章将实例演示在jamovi软件中实现两因素重复测量方差分析——不存在交互作用时的操作步骤。
关键词：jamovi; 重复测量; 重复测量资料; 重复测量方差分析; 两因素重复测量方差分析; 球形检验; 交互作用; 主效应; 单独效应
一、案例介绍
研究A (代码为1)、B (代码为2)两种饲料对家兔的增重效果，选择20只家兔，随机分成两组，第一组用饲料A饲养，第二组用饲料B饲养，并于试验开始后第一个月(time1)、第二个月(time2)、第三个月(time3)分别测量2组家兔体重，试比较A、B两种饲料对家兔的增重效果有无差别？对数据的变量进行标签赋值后部分数据见图1。本文案例可从“附件下载”处下载。
二、问题分析
本案例的分析目的是比较A、B两种饲料对家兔的增重效果有无差别。由于3个时间点的数据属于重复测量数据，且有两个组别，可以使用两因素(时间因素和分组因素)重复测量方差分析。但需要满足以下6个条件：
条件1：观察变量唯一，且为连续变量。本研究中观察变量只有体重，且为连续变量，该条件满足。
条件2：有两个分析因素。本研究有时间因素和分组因素两个因素，该条件满足。
条件3：观察变量为重复测量数据，即不满足独立性。本研究中两个组别在3个时间点时测量的体重均是针对同一批样本，因此不满足独立性，该条件满足。
条件4：观察变量不存在显著的异常值，该条件需要通过软件分析后判断。
条件5：各组、各水平(时间点)观察变量为正态(或近似正态)分布，该条件需要通过软件分析后判断。
条件6：相互比较的各处理水平(组别)的总体方差齐，该条件需要通过软件分析后判断。
三、软件操作及结果解读
(一) 适用条件判断
1. 条件4判断(异常值判断)
(1) 软件操作
① 选择“分析”—“探索”—“描述”，将观察变量“第一个月、第二个月、第三个月”选入右侧“变量”框，将“分组”选入右侧“拆分”框(图2)。
② 在“统计”下的“样本量”中勾选“个案数”、“缺失”，在“集中趋势”中勾选“均值”、“中位数”，在“离散”中勾选“标准差”、“最小值”和“最大值”(图3)，结果如表1所示。
③ 在“绘图”中勾选“箱线图”和“数据”，“数据”下拉菜单中选择“散点”(图4)，结果如图5-1—图5-3所示。
(2) 结果解读
表1“描述”表格中，列出了各组观察变量的最小值和最大值，依据专业尚不能认为存在异常值的情况；此外，图5-1—图5-3中的箱线图也未提示任何异常值。综上可知，本案例未发现需要处理的异常值，满足条件4。
2. 条件5判断(正态性检验)
(1) 软件操作
两因素重复测量方差分析时，需要分别考察每一组的正态性情况，因此需要使用“拆分”功能(图2)。在“统计”中勾选“Shapiro-Wilk检验”(图6)，结果如表2所示。
(2) 结果解读
表2的正态性检验结果显示A组三个时间点P=0.360、0.770、0.919，B组三个时间点P=0.813、0.801、0.182，均>0.1，提示各组数据均服从正态分布。此外，本案例也可以绘制Q-Q图，结果也提示各组数据均服从正态分布(请读者自行操作)。综上可知，本案例满足条件5。
3. 条件6判断(方差齐性检验)
(1) 软件操作
① 选择“分析”—“方差分析”—“重复测量方差分析”(图7)。
② 在图8界面中，将“重复测量因子1”更改为“时间”；将“水平1”改为“第一个月”，“水平2”改为“第二个月”，“水平3”改为“第三个月”；然后将左侧“第一个月、第二个月、第三个月”分别选入“重复测量单元”，“分组”选入“组间因子”，如图9所示。
③ 在“适用条件判断”中勾选“方差齐性检验”(图10)，结果如表3所示。
(2) 结果解读
“方差齐性检验(Levene’s)”表格显示，第一个月、第二个月、第三个月时，两组之间的方差齐性检验结果分别为F=1.393、P=0.253，F=1.741、P=0.204，F<0.001、P=0.988；提示每个时间点的两组之间都满足方差齐性。本案例满足条件6。
(二) 球形假设检验
1. 软件操作
在“适用条件判断”中勾选“球形度检验”(图11)，结果如表4所示。
2. 结果解读
由表4的“球形度检验”结果可知，W=0.886，P=0.356，表示满足球形假设。可见，本案例满足条件7，无需校正。
(三) 统计描述
1. 软件操作
在“边际估计均值”框中，将“时间”和“分组”先后依次选入右侧“边际均值”框，在“输出”下勾选“边际均值图”和“边际均值表”(图12)，结果如图12和表5所示。
2. 结果解读
表1列出了A、B两组第一个月、第二个月、第三个月时间点的均值分别为(1.540±0.334)、(3.910±0.907)、(5.600±0.892)和(1.510±0.269)、(3.860±0.582)、(5.670±0.908) kg。图13的边际估计均值图绘制了两组三个时间点体重的变化情况，可见两组的体重均有增加，并且增加的幅度基本保持一致。表5的“边际估计均值-时间*分组)”表格中提供了两组三个时间点的“均值”、“标准误”及均值的“95% 置信区间”。
(四) 交互作用判断
由于本案例有两个因素(一个为时间因素，另一个为分组因素)，因此需要首先判断两个因素之间是否存在交互作用。如果交互作用有统计学意义，则需要分析单独效应。
1. 软件操作
由于本案例满足球形假设，因此只要看球形度分析结果即可，在“效应量”中勾选“普通 Ƞ²值”、“Ƞ²值”、“偏Ƞ²值”(图14)。
2. 结果解读
表6“组内效应”显示，时间与分组之间的交互作用结果为F时间*分组=0.106，P=0.900，提示时间与分组之间的交互作用无统计学意义。因此，本案例可直接以主效应分析结果进行判断，如果交互作用有统计学意义，则需要分析单独效应。另外，从Ƞ²p的值(0.006)也可判断两者的交互作用为极小效应(<0.01)。
(五) 时间效应分析
以“组内效应”中时间的检验结果可知，F时间=437.308，P<0.001(表6)，认为体重变化具有时间变化趋势。
(六) 组间效应分析
以“组间效应”中分组的检验结果可知，F分组<0.001，P=0.990(表7)，表示两种饲料对家兔的增重效果差异无统计学意义。从Ƞ²p的值(0.000)也可判断两者的交互作用为极小效应(<0.01)。
(七) 事后检验(两两比较)
上面分析得出了“体重变化具有时间趋势”的结论，即不同时间点体重差异有统计学意义，但到底是哪些时间点之间存在差异尚不清楚，因此需要进行事后检验，开展两两比较。
1. 软件操作
在“事后检验”框中按照图15勾选相应选项。本案例选择“Bonferroni法”，“未校正”为输出未校正的P值。
2. 结果解读
表8 “事后比较-时间”表格中提供了各时间点两两比较的“均值差”、“标准误”、“自由度”、“t值”、“P值”和“Pbonferroni”。可知，随着时间的延长，各时刻与开始时刻相比，均值差逐渐增大。第二个月比第一个月时均值增加了2.360 kg，至第三个月时增加了4.110 kg，第二个月到第三个月时增加了1.750 kg，差异均有统计学意义(P<0.001)。
四、结论
本研究采用两因素重复测量方差分析比较A、B两种饲料对家兔的增重效果有无差别。通过专业知识判断，数据不存在异常值；通过Shapiro-Wilk检验，提示各组数据服从正态分布；通过Levene’s检验，提示每个时间点的两组之间都满足方差齐性；球形度检验提示，满足球形假设(W=0.886，P=0.356)；分组与时间无交互作用(F时间*分组=0.106，P=0.900)，故进行主效应分析。
A、B两组在试验第一个月、第二个月和第三个月时的体重分别为(1.540±0.334)、(3.910±0.907)、(5.600±0.892)和(1.510±0.269)、(3.860±0.582)、(5.670±0.908) kg。两因素重复测量方差分析结果显示，在第一个月、第二个月和第三个月2组家兔的体重均呈上升趋势(F时间=437.308，P<0.001)，但两种饲料对家兔的增重效果无差异(F分组=1.524e-4，P=0.990)。进一步采用“Bonferroni”校正法进行两两比较可知，随着时间的延长，第二个月和第三个月与试验开始时相比，体重增加均有统计学意义(P<0.001)。综上可知，两种饲料对家兔的增重效果无差异。