在前面文章中介绍了“两因素重复测量方差分析(Two-way Repeated-Measures ANOVA)一(无交互作用)——jamovi软件实现”，本篇文章将实例演示在jamovi软件中实现两因素重复测量方差分析——有交互作用时的操作步骤。
关键词：jamovi; 重复测量; 重复测量资料; 重复测量方差分析; 两因素重复测量方差分析; 球形检验; 交互作用; 主效应; 单独效应
一、案例介绍
研究A、B两种饲料对家兔的增重效果，选择20只家兔，随机分成A、B两组，第一组用饲料A饲养，第二组用饲料B饲养，并于试验开始后第一个月(time1)、第二个月(time2)、第三个月(time3)分别测量2组家兔体重(kg)，试比较A、B两种饲料对家兔的增重效果有无差别。部分数据见图1，本案例数据可从“附件下载”处下载。
二、问题分析
本案例的分析目的是比较A、B两种饲料对家兔的增重效果有无差别。由于3个时间点的数据属于重复测量数据，且有两个组别，可以使用两因素(时间因素time和分组因素group)重复测量方差分析。但需要满足以下6个条件：
条件1：观察变量唯一，且为连续变量。本研究中观察变量只有体重，且为连续变量，该条件满足。
条件2：有两个分析因素。本研究有时间因素time和分组因素group两个因素，该条件满足。
条件3：观察变量为重复测量数据，即不满足独立性。本研究中两个组别在3个时间点时测量的体重均是针对同一批样本，因此不满足独立性，该条件满足。
条件4：观察变量不存在显著的异常值。该条件需要通过软件分析后判断。
条件5：各组、各水平观察变量为正态(或近似正态)分布。该条件需要通过软件分析后判断。
条件6：相互比较的各组别的总体方差齐。该条件需要通过软件分析后判断。
三、软件操作及结果解读
(一) 适用条件判断
1. 条件4判断(异常值判断)
(1) 软件操作
①选择“分析”—“探索”—“描述”，将观察变量time1、time2、time3选入右侧“变量”框，将“group”选入右侧“拆分”框(图2)。
②在“统计”下的“样本量”中勾选“个案数”“缺失”，在“集中趋势”中勾选“均值”“中位数”，在“离散”中勾选“标准差”“最小值”“最大值”(图3)，结果见图4。
③在“绘图”中勾选“箱线图”−“标注离群值”和“数据”−“散点”(图5)，结果如图6-1~图6-3所示。
(2) 结果解读
“描述”结果(图4)列出了各组观察变量的最小值和最大值，依据专业尚不能认为存在异常值；此外，图6-1、图6-2中的箱线图也未提示任何异常值，图6-3中存在两个离群值，但根据专业尚不能判定为异常值。综上，本案例未发现需要删除的异常值，满足条件4。
2. 条件5判断(正态性检验)
(1) 软件操作
两因素重复测量方差分析时，需要分别考察每一组的正态性情况，因此需要使用“拆分”功能(图2)。在“统计”中“正态性”下方勾选“Shapiro-Wilk检验”(图7)，结果见图8。
(2) 结果解读
正态性检验结果(图8)显示A组3个时间点的P值分别为0.360、0.770、0.919，B组3个时间点的P值分别为0.813、0.809、0.128，均>0.1，提示各组数据均服从正态分布。此外，本案例也可以绘制Q-Q图，结果也提示各组数据均服从正态分布(请读者自行操作)。综上，满足条件5。关于正态性检验的注意事项详见文章“医学统计学核心概念及重要假设检验的软件实现(2/4)——正态性假设检验的SPSS实现”。
3. 条件6判断(方差齐性检验)
(1) 软件操作
①选择“分析”—“方差分析”—“重复测量方差分析”(图9)。
②将“重复测量因子1”更改为“Time”；将“水平1”改为time1，“水平2”改为time2，“水平3”改为time3；然后将左侧time1、time2、time3分别选入“重复测量单元”，group选入“组间因子”，见图10、图11。
③在“适用条件判断”中的“球形度校正”下，勾选“方差齐性检验”(图12)。
(2) 结果解读
“方差齐性检验(Levene’s)”结果(图13)显示，在time1、time2、time3时，两组之间的方差齐性检验结果分别为F=1.393、P=0.253，F=1.939、P=0.181，F=0.952、P=0.342；提示每个时间点的两组之间都满足方差齐性。本案例满足条件6。关于方差齐性检验的更多内容请阅读“医学统计学核心概念及重要假设检验的软件实现(4/4)——方差齐性检验及SPSS实现”。
(二) 球形假设检验
1. 软件操作
在“适用条件判断”中勾选“球形度检验”(图14)。
2. 结果解读
“球形度检验”结果(图15)显示，W=0.952，P=0.661，表示满足球形假设。因此本案例可以直接采用非校正方法分析的结果。
(三) 统计描述
1. 软件操作
①在“边际估算均值”框中，将Time和group先后依次选入右侧“边际均值”框，在“输出”下勾选“边际均值图”和“边际均值表”(图16)。
2. 结果解读
“估算边际均值-时间*组别”结果(图17)中提供了两组3个时间点的“估算边际均值(偏最小二乘均值)”“标准误”及均值的“95%置信区间”。估算边际均值图(图18)绘制了两组3个时间点体重的变化情况，可见两组的体重均有增加，并且增加的幅度不太一致。
(四) 交互作用判断
由于本案例有两个因素(一个为时间因素time，另一个为分组因素group)，因此需要首先判断两个因素之间是否存在交互作用。如果交互作用有统计学意义，则需要分析简单效应。
1. 软件操作
由于本案例满足球形假设，因此只要看球形度分析结果即可，在“效应量”中勾选“普通Ƞ²值”“Ƞ²值”“偏Ƞ²值”；在“球形度校正”下勾选“无”“Greenhouse-Geisser”“Huynh-Feldt”(图19)。
2. 结果解读
“组内效应”结果(图20)显示，Time与group之间的交互作用结果为Ftime*group=31.060，P<0.001，提示Time与group之间的交互作用有统计学意义。另外，从Ƞ²p的值(0.633)也可判断两者的交互作用为大效应。因此，本案例需要分析简单效应。
(五) 简单效应分析
1. 软件操作
①选择“分析”—“R”—“ Rj Editor + (R语言jamovi编辑器+)”(图21)。
②在Rj Editor中，有两个版本的R语言可供选择，即jamovi自带的版本(jamovi R)和已经安装的R语言(System R)，此处选择后者(图22)。
③在R软件中安装“bruceR”包、“magrittr”包和“jmvconnect”包。
④将group、time1、time2、和time3选入Variables，并输入程序代码后点击右边绿色三角形按钮运行程序(图23)，结果见图24~图29。
2. 结果解读
(1) Time的简单效应
“Simple Effects of ‘time’”结果(图24)可知，A组内不同时间点的体重增量差异有统计学意义(F=272.57，P<0.001)；B组内不同时间点的体重增量差异也有统计学意义(F=88.16，P<0.001)。“Estimated Marginal Means of‘time’”结果(图25)和“估算边际均值-时间*组别”结果(图17)一致，为各组的“Mean (估算边际均值(偏最小二乘均值)”“SE (标准误)”及均值的“95% Confidence Interval (95%CI)”。
(2) group的简单效应
“Simple Effects of ‘group’ (group的简单效应)”结果(图26)显示，time1时两组间的体重增量差异无统计学意义(F=0.05，P=0.827)；time2时两组间的体重增量差异有统计学意义(F=12.30，P=0.003)；time3时两组间的体重增量差异有统计学意义(F=27.49，P<0.001)。
“Estimated Marginal Means of‘group’”结果(图27)和“估算边际均值-时间*组别”结果(图17)一致，为各组的“Mean (估算边际均值(偏最小二乘均值))”、“SE (标准误)”及均值的“95% Confidence Interval (95%CI)”。
(六) 事后检验(两两比较)
1. Time的简单效应事后检验
上述分析得出了“A、B两组内不同时间点的体重增量差异有均有统计学意义”的结论。现通过“Bonferroni (邦弗罗尼)”法分别对A、B两组内3个时间点数据进行两两比较，结果见图28。
“Pairwise Comparisons of ‘time’ (time成对比较)”结果(图28)可知，A组内，与time1比较，time2和time3时的体重增量逐渐增加，且差异有统计学意义(P<0.001)；B组内，与time1比较，time2和time3时的体重增量逐渐增加，且差异也有统计学意义(P<0.001)。
2. group的简单效应事后检验
上述分析得出了“在time2和time3时，两组之间的体重增量差异均有统计学意义”的结论。但由于group只有两组，因此无须再进行事后检验。但“Pairwise Comparisons of ‘group’ (group成对比较)”结果(图29)显示，time1时，A组的体重增量与B组之间差异无统计学意义(t=0.22，P=0.827)，time2时，A组的体重增量比B组高1.18 kg，差异有统计学意义(t=3.51，P=0.003)，time3时，A组体重与B组之间的差异进一步加大，A组的体重增量比B组高1.79 kg，差异有统计学意义(t=5.24，P<0.001)。
四、结论
本研究采用两因素重复测量方差分析比较A、B两种饲料对家兔的增重效果有无差别。通过专业知识判断，数据不存在异常值；通过“Shapiro-Wilk检验”，提示各组数据服从正态分布；通过“Levene’s检验”，提示每个时间点的两组之间都满足方差齐性；“球形度检验”提示，满足球形假设(W=0.952，P=0.661)；组别与time之间存在交互作用(Ftime*group=31.060，P<0.001)，故进行简单效应分析。
A组在试验开始后第一个月、第二个月和第三个月时的体重分别为1.540±0.334、3.910±0.907、5.600±0.892 kg，B组分别为1.510±0.269、2.730±0.556、3.810±0.608 kg。时间的简单效应分析显示，A、B两组组内不同时间点的体重增量差异均有统计学意义(P<0.001)。通过“Bonferroni (邦弗罗尼)”法分别对A、B两组内3个时间点数据进行两两比较显示，A、B两组内不同时间点之间的体重增量差异均有统计学意义(P<0.001)。组别的简单效应和事后检验分析显示，time1时，A组的体重增量与B组之间差异无统计学意义(t=0.22，P=0.827)；time2时，A组的体重增量比B组高1.18 kg，差异有统计学意义(t=3.51，P=0.003)；time3时，A组体重与B组之间的差异进一步加大，A组的体重增量比B组高1.79 kg，差异有统计学意义(t=5.24，P<0.001)。综上，A饲料对家兔的增重效果更好。