两因素重复测量资料的方差分析 (Two-way Repeated Measures ANOVA)—(无交互作用) 一——理论介绍

关键词：重复测量; 重复测量资料; 重复测量方差分析; 两因素重复测量方差分析; 球形检验; 交互作用; 主效应; 单独效应

一、适用条件

两因素重复测量资料方差分析，需要满足6个条件：

条件1：观察变量唯一，且为连续变量。

条件2：有两个分析因素。

条件3：观察变量为重复测量数据，即不满足独立性。

条件4：观察变量不存在显著的异常值。

条件5：各组、各水平(时间点)观察变量为正态(或近似正态)分布。

条件6：相互比较的各处理水平(组别)的总体方差相等，即方差齐性。

二、统计量计算

两因素重复测量资料的方差分析需考虑两个因素的影响，一个因素是处理分组，可通过施加干预和随机分组来实现；另一个因素是测量时间，由研究者根据专业知识和要求确定。因此，两因素重复测量资料的变异可分解为处理因素、时间因素、处理因素和时间因素的交互作用、受试对象间的随机误差和重复测量的随机误差。

三、案例数据

研究A、B两种饲料对家兔的增重效果，选择20只家兔，随机分成两组，第一组用饲料A饲养，第二组用饲料B饲养，并于试验开始后第1个月(time1)、第2个月(time2)、第三个月(time3)分别测量2组家兔体重，试比较A、B两种饲料对家兔的增重效果有无差别？数据见图2。

四、假设检验

(一) 正态性检验

两因素重复测量方差分析中，有两种选择来检验正态性(参考“方差分析的基本思想和应用条件”)。本例选择检验各组各测量时点数据的正态性(采用jamovi软件)，结果如图3所示。

图3中6个时点的P值均大于0.10，提示数据服从正态分布。也可绘制Q-Q图，可见两组3个时间的散点基本围绕对角线分布，表明各组各个时间点的数据均呈正态分布(读者可自行操作)。

(二) 方差齐性检验

此处使用Levene检验进行方差齐性检验，使用jamovi软件完成计算过程，结果如图4所示。

 “Homogeneity of Variances Test (Levene’s) (Levene’s方差齐性检验)”表格显示，time1、time2、time3时，两组之间的方差齐性检验结果分别为P=0.253、P=0.204、P=0.988；提示每个时间点的两组之间都满足方差齐性。

(三) 球形检验

重复测量数据的方差分析过程中，需要先考察数据的球形分布特征，当违背了球形假设条件时，需要进行epsilon (ε)校正。球对称性通常采用 Mauchly检验(Mauchly's test) 来判断，jamovi分析结果如图5所示。

由图5的“Tests of Sphericity (球形检验)”结果可知，W=0.886，P=0.356，表示满足球形假设。此时无须对区组内效应的F界值进行矫正。

(四) 交互作用判断

1. 建立检验假设，确定检验水准

H₀：不同饲料的增重效果和时间因素之间的交互作用等于0，即干预因素和时间因素不存在交互作用

H₁：不同饲料的增重效果和时间因素之间的交互作用不等于0，即干预因素和时间因素存在交互作用

α = 0.05

2. 计算检验统计量

由图1 公式和图2 数据可得计算结果如图6所示。

3. 确定P值，作出推断结论

根据图6中的统计量查阅(F界值表)，处理因素与时间的交互项F_{处理×时间}= 0.106<F_{0.05(2, 36)}= 3.26，P>0.05，可认为两种饲料对家兔的增重效果在不同时间点上的变化没有统计学意义。因此，可直接分析主效应。

(五) 两因素重复测量方差分析(主效应分析)

1. 建立检验假设，确定检验水准

处理因素

H₀：不同饲料对家兔增重效果有影响

H₁：不同饲料对家兔增重效果没有影响

时间因素

H₀：不同时间对家兔增重效果有影响

H₁：不同时间对家兔增重效果没有影响

α = 0.05

2. 计算检验统计量

尽管处理因素与时间的交互项无统计学意义，但计算主效应时，在模型中仍需要保留交互项。因此计算结果和图6一致。

3. 确定P值，作出推断结论

处理因素F_处理= 1.524E-04<F_{0.05(1, 18)}= 4.41，P>0.05，表示两种饲料对家兔的增重效果差异无统计学意义。时间因素F_时间= 437.308>F_{0.05(2, 36)}= 3.26，P<0.05，表示时间对家兔的增重效果差异有统计学意义。