多重线性回归分析(Multiple Linear Regression Analysis)——SAS软件实现

关键词：SAS; 多重线性回归; 多元线性回归; 多重共线性; 自变量选择; 逐步回归; 模型拟合评价; 哑变量设置

一、案例介绍

某社区医师从本社区的糖尿病患者中随机抽取50名，收集了他们的性别(Gender)、经济水平(Income)、空腹胰岛素(Fasting insulin，mmol/L)、糖化血清蛋白(Glycosylated serum protein)和空腹血糖(FBS，mmol/L)，欲探究空腹血糖是否受到其他几项指标的影响。部分数据见图1。本文案例可从“附件下载”处下载。其中，Gender 是受试者的性别，Income是受试者的收入，Fasting_insulin是受试者的空腹胰岛素，Glycosylated_ serum_protein是受试者的糖化血清蛋白，FBS是受试者的空腹血糖。

二、问题分析

本案例的目的是分析空腹血糖是否受到其他几项指标的影响，由于因变量是定量资料，初步考虑可使用多重线性回归分析。但需要满足以下7个条件：

条件1：样本量是自变量个数的5~10倍。本案例有4个自变量，样本量为50，满足该条件。

条件2：自变量若为连续变量，需要与因变量之间存在线性关系，可通过绘制散点图予以考察。

条件3：各观测值之间相互独立，即残差之间不存在自相关。通过研究设计和数据收集的过程分析，可判断本案例中观测值之间不存在互相影响的情况。该条件还可通过软件分析后辅助判断。

条件4：不存在显著的多变量异常值，该条件需要通过软件分析后判断。

条件5：自变量之间无多重共线性，该条件需要通过软件分析后判断。

条件6：残差符合正态(或近似正态)分布，该条件需要通过软件分析后判断。

条件7：残差大小不随所有变量取值水平的变化而变化，即方差齐性，可通过绘制残差图进行判断。

三、软件操作及结果解读

(一) 适用条件判断

1. 条件2判断(连续性自变量与因变量之间的线性关系)

(1) SAS实现

首先导入数据，代码如下：

proc import datafile="G:\test\多重线性回归分析.csv" dbms=csv out=data1;
run;

使用如下的proc univariate过程步，分别绘制空腹胰岛素(Fasting insulin，mmol/L)、糖化血清蛋白(Glycosylated serum protein)和空腹血糖(FBS，mmol/L)的散点图：

proc sgplot data=data1;
	scatter x=Fasting_insulin y=FBS;
run;
proc sgplot data=data1;
	scatter x=Glycosylated_serum_protein y=FBS;
run;

(2) 结果解读

图2和图3分别展示了空腹胰岛素(Fasting insulin，mmol/L)、糖化血清蛋白(Glycosylated serum protein)和空腹血糖(FBS，mmol/L)的散点图，可见空腹胰岛素(Fasting insulin，mmol/L)、糖化血清蛋白(Glycosylated serum protein)和空腹血糖(FBS，mmol/L)均存在线性关系。案例数据满足条件2。

2. 条件3判断(各观测值之间的独立性)

(1) SAS实现 

由于本案例中性别(Gender)和经济水平(Income)为分类变量，需要为其设置哑变量，以女性和低收入为参照，代码如下所示：

data data2;
	set data1;
	length Gender1 Income1 Income2 8.;
	Gender1 = ifc(Gender="男",1,0); 
	Income1 = ifc(Income="中等收入",1,0);
	Income2 = ifc(Income="高收入",1,0);
run;

使用proc reg过程步model语句的DW选项输出Durbin–Watson自相关检验的结果，代码如下：

proc reg data=data2;	
	model FBS=Gender1 {Income1 Income2} Fasting_insulin Glycosylated_serum_protein/DWPROB;
run;
quit;

(2) 结果解读

Durbin–Watson检验的结果如图3所示，DW统计量为1.655，Pr <DW =0.1284且Pr >DW =0.8716, 说明正相关和负相关检验均无统计学意义，则观测值相互独立，满足条件3。

3. 条件4判断(不存在显著的多变量异常值)

(1) SAS实现

SAS proc reg过程步的r选项输出残差信息，包括Cook’s D(库克距离)的值，代码如下：

proc reg data=data2;	
	model FBS=Gender1 {Income1 Income2} Fasting_insulin Glycosylated_serum_protein/r;
run;
quit;

(2) 结果解读

如图5所示，最大库克距离D为0.234<0.5，提示不存在显著异常值，本研究数据满足条件4。

4. 条件5判断(多重共线性判断)

(1) SAS实现

SAS proc reg过程步的tol和vif选项分别给出参数估计值的容忍度和方差膨胀因子，代码如下：

proc reg data=data2;	
	model FBS=Gender1 {Income1 Income2} Fasting_insulin Glycosylated_serum_protein/tol vif;
run;
quit;

(2) 结果解读

如图6所示，容忍度的值均>0.1，方差膨胀因子的值均<10，提示自变量之间不存在严重共线性问题，满足条件5。

5. 条件6判断(残差的正态性检验)

(1) SAS实现

SAS proc reg过程步的plots=qqplot选项绘制残差Q-Q图，output语句将残差值输出到res数据集，残差用变量r表示，并使用proc univariate过程步对残差值进行正态性检验，代码如下：

proc reg data=data2 plots=qqplot;	
	model FBS=Gender1 {Income1 Income2} Fasting_insulin Glycosylated_serum_protein;
	output out=res r=r;
run;
quit;
proc univariate data=res normal;
	var r;
run;

(2) 结果解读

如图7所示，残差Q-Q图中各散点基本围绕对角线分布，提示残差服从正态分布。

图8展示了正态性检验的结果，Shapiro-Wilk检验统计量W=0.98344，P=0.7030，表明残差服从正态分布，满足条件6。

6. 条件7判断(方差齐性检验)

(1) SAS实现

SAS proc reg过程步的spec选项执行验证方差齐性的White检验，代码如下：

proc reg data=data2;	
	model FBS=Gender1 {Income1 Income2} Fasting_insulin Glycosylated_serum_protein/spec;
run;
quit;

(2) 结果解读

如图9所示，方差齐性检验结果显示，不能拒绝“等方差齐性”的原假设(P=0.3708)，提示残差的方差齐，本研究数据满足条件7。

(二) 变量筛选和模型拟合

1. SAS实现

使用前向逐步回归方法进行变量筛选，代码如下所示：

proc reg data=data2 outest=result;	
	model FBS=Gender1 {Income1 Income2} Fasting_insulin Glycosylated_serum_protein/selection=forward stb clb AIC BIC;
run;
quit;

其中，outest=result选项输出result数据集至work库，包含最终模型的参数估计值和模型拟合度量值；stb选项给出标准化回归系数，用来衡量不同自变量对因变量影响的相对重要性；clb选项给出参数估计的95%置信区间；AIC、BIC选项分别输出最终模型的AIC和BIC值至result数据集。

2. 结果解读

如图10所示，变量Glycosylated_serum_protein首先进入模型，模型有统计学意义(F=43.67，P<0.0001)。

如图11所示，变量Income继续进入模型，此时模型包含Glycosylated_serum_protein和Income两个变量，且模型有统计学意义(F=51.59，P<0.0001)。

如图12所示，变量Fasting_insulin继续进入模型，此时模型包含Glycosylated_serum_protein、Income和Fasting_insulin三个变量，且模型有统计学意义(F=67.03，P<0.0001)。

如图13所示，变量Gender未能进入模型。即经过变量筛选，最终模型包含Glycosylated_serum_protein、Income和Fasting_insulin三个变量。

结果的最后一部分展示了最终模型的模型拟合度量和参数估计值，如图14所示。模型有统计学意义(F=67.03，P<0.0001)。模型的决定系数R²为0.8563，提示自变量(Glycosylated_serum_protein、Income和Fasting_insulin)可以解释85.63%的因变量的变异(空腹血糖FBS)；校正决定系数adjusted R²为0.8435，提示校正了自变量个数后，自变量可以解释84.35%的因变量的变异。

图14的最后一张表格展示了模型的参数估计结果，给出了截距和自变量的非标准化回归系数、统计量t值、P值，标准化回归系数以及非标准化回归系数的95%CI。结果显示，回归模型的截距为9.567(95%CI：8.071~11.062)，P<0.0001，截距有统计学意义，表明截距≠0。Income1的非标准化回归系数为0.814 (95%CI：0.192~1.435)，P=0.0115，回归系数有统计学意义，表明相比低收入人群，中等收入人群比低收入人群空腹血糖高0.814 mmol/L。Income2的非标准化回归系数为3.934 (95%CI：3.122~4.745)，P<0.0001，回归系数有统计学意义，表明相比低收入人群，高收入人群比低收入人群空腹血糖高3.934 mmol/L。Fasting_insulin的非标准化回归系数为-0.194 (95%CI：-0.269~-0.118)，P<0.0001，回归系数有统计学意义，表明空腹胰岛素每增加1 mmol/L，空腹血糖减少0.194  mmol/L。Glycosylated_serum_protein的非标准化回归系数为0.501 (95%CI：0.366~0.636)，P<0.0001，回归系数有统计学意义，表明糖化血清蛋白每增加1%，空腹血糖增加0. 501mmol/L。

据此可以写出本案例的回归方程为：

空腹血糖 = 9.567+ 0.814×(经济水平=中等收入) + 3.934×(经济水平=高收入) - 0.194×空腹胰岛素 + 0.501×糖化血清蛋白

根据此方程输入相关自变量数值即可对空腹血糖进行预测。

四、结论

本研究采用多重线性回归模型考察“空腹血糖”是否受到性别、经济水平、空腹胰岛素和糖化血清蛋白的影响。通过绘制散点图，提示空腹胰岛素和糖化血清蛋白与空腹血糖之间存在线性关系；通过专业判断和Durbin-Watson检验提示数据之间相互独立；通过库克距离分析，提示数据不存在需要删除的异常值；通过方差膨胀因子和容忍度判断自变量之间不存在严重多重共线性，通过Shapiro-wilk检验及绘制残差Q-Q图，提示残差服从正态分布；通过White检验，提示残差方差齐。满足多重线性回归分析条件。

多元线性回归分析结果发现，在其他变量不变的情况下，中等收入人群比低收入人群空腹血糖高0.814 mmol/L (β=0.814，95%CI：0.192~1.435；P=0.011)；高收入人群比低收入人群空腹血糖高3.934 mmol/L (β=3.934，95%CI：3.122~4.745，P<0.001)；空腹胰岛素每增加1 mmol/L，空腹血糖减少0.194 mmol/L (β=-0.194，95%CI：-0.269~-0.118；P<0.001)；糖化血清蛋白每增加1%，空腹血糖增加0.501 mmol/L (β=0.501，95%CI：0.366~0.636；P<0.001)。

线性回归分析方程为：空腹血糖 = 9.567+ 0.814×(经济水平=中等收入) + 3.934×(经济水平=高收入) - 0.194×空腹胰岛素 + 0.501×糖化血清蛋白。回归模型具有统计学意义，F=67.03，P<0.001；模型可以解释84.35%的因变量的变异(adjusted R²=0.8435)。

五、分析小技巧

(一) 各观测值之间的独立性检测

• 判断观测值是否独立，主要取决于研究设计和数据收集阶段的质量控制，Durbin-Watson检验最好用于辅助判断。Durbin-Watson检验值分布在0~4之间，越接近2，观测值相互独立的可能性越大。且根据Pr <DW和Pr >DW，可得知正相关检验和负相关检验的P值大小，更容易客观的判断独立性。

(二) 异常值检测

• Cook’s D(库克距离)用来判断强影响点是否为因变量的异常值点。一般认为当D<0.5时不是异常值点，当D>0.5时认为是异常值点。
• 并非所有的异常点都意味着结果不好，有时候发现异常点可能会提示有更重要的信息。如果出现异常点，首先应检查数据是否录入错误，也可以选择其他相应模型来拟合，或者需要收集更多的数据来证实。

(三) 残差的正态性检测

• 如果残差不符合正态分布，可以考虑对因变量进行数据变换，使其服从正态分布后再拟合线形回归模型。

(四) 残差的方差齐性检测

• 残差的方差齐是指在自变量取值范围内，对于任意自变量取值，因变量都有相同的方差。线形回归中，残差的方差齐实际上要比残差正态分布重要。如果这一条件不满足，可对因变量进行变量变换，使其满足残差方差齐，也可以采用加权回归分析，消除方差的影响。

(五) 变量筛选

• 多重回归分析中，变量的筛选一般有向前筛选(selection=forward)、向后筛选(selection=backward)、逐步筛选(stepwise)三种基本策略。
• 向前筛选是变量不断进入回归方程的过程。首先，选择与因变量具有最高线性相关系数的变量进入方程，并进行回归方程检验；其次，在剩余的变量中寻找与因变量偏相关系数最高的变量进入回归方程，并对新建立的回归方程进行检验；一直重复这个过程，直到再也没有可进入方程的变量为止。
• 向后筛选是变量不断剔除出回归方程的过程。首先，所有变量全部引入回归方程，并对回归方程进行检验，然后在回归系数不显著的变量中，剔除t检验值最小的变量，并对模型进行检验；直到回归方程中所有变量的回归系数均显著，则回归模型确定。
• 逐步筛选在向前筛选的基础之上，结合向后筛选策略，在每个变量进入方程后再次判断是否存在可以剔除方程的变量。因此，逐步筛选在引入变量的每一个阶段都提供了剔除不显著变量的机会。

(六) 回归模型

• 在进行回归分析时，要注意避免对数据的过渡挖掘，不能将回归模型分析的结果随意延伸到自变量取值范围以外的数值。也不能随意将模型分析结果延伸到因果关系。

(七) 模型评价

常见的回归模型评价指标有：决定系数R²、校正决定系数adjusted R²和均方根误差RMSE等。实际分析时，可以综合多个指标，并结合模型所反映的实际情况来判断。

• 决定系数R² (determination coefficient)反映了因变量的变异能够被自变量解释的比例，或者说方程中的自变量解释了因变量变异的多少。R²越大，表示方程中自变量解释能力越强。但该指标有一缺陷，即其值随着自变量的增多而增加，即使加入无意义的变量，该指标值也会随之增加，因此不能较好地反映模型优劣。
• 校正决定系数adjusted R²(adjusted determination coefficient) 是对决定系数的修正。当有统计学意义的变量进入方程时，该指标随之增大，而当无统计学意义的变量进入方程时，其值减小。值越大表明模型越好，是衡量模型优劣的重要指标之一。
• 均方根误差RMSE主要反映模型的估计精度，值越小越好。一般会随模型中自变量个数增加而减小，这一性质与校正系数相似。