正交设计(Orthogonal Design)资料的方差分析———R软件实现

关键词：R; 正交设计; 多向分组方差分析; 多因素方差分析

完全随机设计试验、随机区组设计试验和拉丁方设计试验是3种基本的试验设计方法，且均为单因素处理。当处理因素不止一个时，称为多因素处理试验。例如比较4种不同成分饲料对小鼠体重增加的影响，假设饲料由脂肪含量和蛋白含量两种因素复合组成，各有高、低两个水平。研究目的是比较不同水平的脂肪含量和蛋白含量对小鼠体重增加的影响，就需要按照两因素两水平的多因素试验进行设计。此即为两因素两水平的析因设计(Factorial Design)，分析时采用双向分组方差分析(two-way classification ANOVA)。
正交设计(Orthogonal Design)也是医学科研中常用的多因素设计方法，其与析因设计的区别在于析因设计是全面试验，g个处理组是各因素各水平的全面组合；正交设计则是非全面试验，h个处理组是各因素各水平的部分组合，是减少多因素试验次数的有效方法。在正交设计时，应根据生物学和医学专业知识，只分析有意义的主效应和部分重要因素的一阶交互作用。
正交设计各因素各水平的组合方式须依据正交表(Orthogonal Table)而定。每个正交表都有一个表头符号L_N(m^k)，表示此正交表有N行k列，每一列由1, 2, ..., m个整数组成。其中，N为试验次数，k为最多可安排的因素个数，m为各因素的水平数。本文将介绍L₈(2⁷)正交表的使用，并实例展示L₈(2⁷)正交设计的方差分析在R软件中的实现步骤。更复杂的正交表可查阅有关著作，但其基本原理是相同的。

一、L₈(2⁷)正交设计表的使用

L₈(2⁷)正交设计表由两个表组成。一个表用来安排试验，见表1，每一列都可安排一个两水平的处理因素，最多可安排7个因素。另一个为表头设计表，见表2。表2第一行为3因素的析因设计，可分析A、B、C三个因素之间的一阶和二阶交互作用。第二行为4因素的正交设计，可分析A、B、C、D四个因素之间的一阶交互作用。

表1 L₈(2⁷)正交设计表

表2 L₈(2⁷)正交设计表的表头设计

二、案例介绍

欲研究雌螺产卵的适宜条件，在相仿的泥盒里饲养数量相同的同龄雌螺若干只并记录产卵数。共设计4种试验条件(表3)，每个因素两个水平。试在考虑温度与含氧量对雌螺产卵有交互作用的情况下安排正交试验。

表3 雌螺产卵条件因素与水平

三、问题分析

选用L₈(2⁷)正交设计表，按表2表头的第二行设计。8次试验的各因素各水平的搭配和试验结果见表4。本案例是正交设计的方差分析，可以按照多因素方差分析进行数据分析，应满足6个条件：

条件1：观察变量唯一，且为连续变量。本研究中观察变量只有产卵数量，为连续变量，该条件满足。

条件2：有多个因素，且都为分类变量。本研究中有4个因素，都为两水平的分类变量，该条件满足。

条件3：观测值相互独立。本研究中各研究对象的观测值是独立的，不存在互相干扰的情况，该条件满足。

条件4：相互比较的各处理水平(组别)的总体方差相等，即方差齐同。实际上，当各组样本含量相等或接近时，即使方差不齐，方差分析结果仍然稳健。本案例假设方差齐同。

条件5：各组、各水平观测值为正态(或近似正态)分布。本案例假设观测值服从正态。

条件6：观察变量不存在显著的异常值。本案例假设不存在显著的异常值。

表4 雌螺产卵条件的L₈(2⁷)正交设计表

四、软件操作及结果解读

(一) 生成L₈(2⁷)正交设计表

语句如下，结果见图1。

a = factor(c(1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2))
b = factor(c(1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 2))
ab = factor(c(1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 1))
c = factor(c(1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2))
ac = factor(c(1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1))
bc = factor(c(1, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 1))
d = factor(c(1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2))
yield = c(86, 95, 91, 94, 91, 96, 83, 88)
data = data.frame(a, b, ab, c, ac, bc, d, yield)
View(data)

(二) 方差分析

1. 软件操作

result = aov(yield ~ a + b + c + d + ab)
summary(result)

2. 结果解读

方差分析结果见图2。在考虑温度与含氧量对雌螺产卵存在潜在交互作用的情况下，雌螺产卵条件主要与泥土含水量(P=0.039)、温度与含氧量的交互作用(P=0.047)有关。

五、结论

本案例选用L₈(2⁷)正交设计表，基于R软件实现正交设计的方差分析。在考虑温度与含氧量对雌螺产卵存在潜在交互作用的情况下，雌螺产卵条件主要与泥土含水量(P=0.039)、温度与含氧量的交互作用(P=0.047)有关。