医学研究中在进行生存分析(Survival Analysis)时，可使用Kaplan-Meier法进行单个分类变量的生存率比较。为了同时分析众多变量对生存时间和生存结局的影响，常采用多因素生存分析法。多因素生存分析法主要有参数模型和半参数模型两类。参数法需要以特定分布为基础建立模型，应用有局限性；而半参数法的假定相对较少，例如时间依存Cox回归模型(Time-Dependent Cox Regression Model)。本篇文章将举例介绍时间依存Cox回归模型进行多因素生存分析的适用条件及检验假设。
关键词：Cox等比例回归; Cox回归; 生存分析; 等比例风险; 含时间依存协变量; 时依协变量
一、适用条件
条件1：因变量是含有时间信息的二分类变量。本案例中因变量是包含生存时间的二分类资料，time是生存时间(天)；status是生存结局。本案例数据满足该条件。
条件2：各观测值之间相互独立，无互相干扰。由数据和研究设计可知，该条件满足。
条件3：一般要求结局事件的样本量为自变量个数的10~20倍(EPV原则)。该条件需要软件分析来判断。
条件4：自变量之间无严重多重共线性。该条件需要软件分析来判断。
条件5：等比例风险(Proportional hazards，PH)假设，该条件需要软件分析来判断。
二、Cox比例风险回归模型
(一) Cox回归模型的基本形式
Cox比例风险回归模型简称Cox回归模型，由英国统计学家Cox于1972年提出，模型的基本形式为
\(h(t, X)=h_{0}(t) \exp \left(\beta^{\prime} X\right)=h_{0}(t) \exp \left(\beta_{1} X_{1}+\beta_{2} X_{2}+\beta_{1}+\beta_{m} X_{m}\right)\)
其中h(t, X)是具有协变量X的个体在时刻t时的风险函数，又称瞬时死亡率。t为生存时间，X=(X1，X2，…，Xm)'是可能影响生存时间的有关因素，也称协变量。这些变量可以是定量的，也可以是定性的，在整个观察期间内不随时间的变化而变化。h0(t)是所有协变量取值为0时的风险函数,称为基线风险函数(baseline hazard function)。β=(β1，β2，…，βm)'为Cox模型的回归系数，是一组待估的回归参数。
由于基本模式的公式右侧的h0(t)不需要服从特定的分布形状，具有非参数的特点，而指数部分exp(β'X)具有参数模型的形式，故Cox模型又称为半参数模型(semi-parametric model)。
如果采用生存率表示，则模型可写为：
\(S(t, X)=S_{0}(t)^{\exp \left(\beta^{\prime} X\right)}=S_{0}(t)^{\exp \left(\beta_{1} X_{1}+\beta_{2} X_{2}+\cdots+\beta_{m} X_{m}\right)}\)
其中S(t, X)是具有协变量X的个体在时刻t时的生存率，S0(t)为在时刻t的基线生存率，其他符号与上述公式相同。
(二) 参数的估计与假设检验
借助偏似然函数(partial likelihood function)，采用最大似然估计获得Cox回归模型参数。在生存时间ti上，病人死亡的条件概率为：
\(q_{i}=\frac{h_{0}(t) \exp \left(\beta_{1} X_{\mathrm{i} 1}+\beta_{2} X_{\mathrm{i} 2}+\cdots+\beta_{m} X_{i m}\right)}{\sum_{S \in R\left(t_{i}\right)} h_{0}(t) \exp \left(\beta_{1} X_{\mathrm{s} 1}+\beta_{2} X_{\mathrm{s} 2}+\cdots+\beta_{m} X_{s m}\right)}\)
将k个生存时点的死亡条件概率相乘，得偏似然函数的计算公式为：
\(L=q_{1} q_{2} \cdots q_{k}=\prod_{i=1}^{k} q_{i}=\prod_{i=1}^{k} \frac{\exp \left(\beta_{1} X_{\mathrm{i} 1}+\beta_{2} X_{\mathrm{i} 2}+\cdots+\beta_{m} X_{i m}\right)}{\sum_{S \in R\left(t_{i}\right)} \exp \left(\beta_{1} X_{\mathrm{s} 1}+\beta_{2} X_{\mathrm{s} 2}+\cdots+\beta_{m} X_{s m}\right)}\)
式中qi为第i死亡时点的条件死亡概率，其分子部分为第i个个体在ti (t1≤t2≤…≤ti≤tk)死亡时点的风险函数h(ti)；分母部分为处于风险的个体，即生存时间T≥Ti的所有(既包括死亡，也包括删失)个体的风险函数之和\(\sum_{j=i}^{n} h_{j}(t)\)。
分子分母中的基线风险函数h0(t)正好抵消, h0(t)无论等于多少，都对偏似然函数的结果不产生影响。一般的似然函数应包含所有n个个体点，而公式只含有k个死亡时点，忽略了删失时点的似然函数，故称之为偏(或部分)似然函数。
对偏似然函数取对数，得到对数似然函数lnL，求lnL关于βj(j=1, 2, …, m)的一阶偏导数，并求\(\frac{\partial \ln L}{\partial \beta_{j}}=0\)的解，便可获得βj的最大似然函数估计值bj。通常用Newton-Raphson迭代法求解这一偏似然方程组。
常用的回归系数检验方法有似然比检验、Wald检验和得分检验。
(三) 参数的意义及其解释
1.回归系数与相对危险度
由上述公式可以得到
\(h(t, X) / h_{0}(t)=\exp \left(\beta_{1} X_{1}+\beta_{2} X_{2}+\cdots+\beta_{m} X_{m}\right)\)
或
\(\ln \left[h(t, X) / h_{0}(t)\right]=\beta_{1} X_{1}+\beta_{2} X_{2}+\cdots+\beta_{m} X_{m}\)
βj与风险函数h (t, X)之间有如下关系：
①βj>0，则Xj取值越大时，h (t, X)的值越大，表示患者死亡的风险越大；
②βj<0，则Xj取值越大时，h (t, X)的值越小，表示患者死亡的风险越小；
③βj=0，则Xj取值对h (t, X)没有影响。
两个分别具有协变量Xi与Xj的个体，其风险函数(亦称为危险度)之比称为相对危险度(risk ratio，RR)或风险比(hazard ratio，HR)，是一个与时间无关的量，即：\(h\left(t, X_{i}\right) / h\left(t, X_{j}\right)=\exp \left[\beta\left(X_{i}-X_{j}\right)\right]\)
如Xi是暴露组观察对象对应各因素的取值，Xj是非暴露组观察对象对应各因素的取值，求得β的估计值后，则根据上述公式可以求出暴露组对非暴露组的相对危险度估计值。
βj的流行病学含义是：在其他协变量不变的情况下，协变量Xj每改变一个测定单位时所引起的相对危险度的自然对数的改变量。
当协变量Xj取值为0，1时，按上述公式其对应的\(\widehat{R R}\)为：
\(\widehat{R R}=\exp \left(b_{j}\right)\)
当协变量取值为连续性变量时，用Xj和\(X_{j}{ }^{*}\)分别表示在不同情况下的取值，按公式则其对应的\(\widehat{R R}=\exp \left(b_{j}\right)\)为：
\(\widehat{R R}=\exp \left[b_{j}\left(X_{j}-X_{j}^{*}\right)\right]\)
RR的1－α可信区间为
\(\exp \left(b_{j} \pm z_{\alpha / 2} \times S_{b_{j}}\right)\)
2. 个体预后指数
Cox回归模型的线性部分\(\beta_{1} X_{1}+\beta_{2} X_{2}+\cdots+\beta_{m} X_{m}\)与风险函数h(t)成正比，即风险越大，\(\beta_{1} X_{1}+\beta_{2} X_{2}+\cdots+\beta_{m} X_{m}\)也越大，因此模型的线性部分反映了一个个体的预后，称\(P I=\beta_{1} X_{1}+\beta_{2} X_{2}+\cdots+\beta_{m} X_{m}\)为预后指数(prognosis index，PI)。预后指数越大，患者风险越大，预后越差；反之，预后指数越小，预后越好。
如果对各变量进行标准化转换后再拟合Cox模型，则可得到标准化的预后指数，当标准化PI'=0时，表示该患者的死亡风险达到平均水平；当标准化PI'>0时，表示该患者的死亡风险高于平均水平；当标准化PI'<0时,表示该患者的死亡风险低于平均水平。
(四) 比例风险假定的检验
Cox比例风险回归模型的主要前提条件是假定风险比值h (t)/h0 (t)为固定值，即协变量对生存率的影响不随时间的改变而改变。只有该条件得到满足，Cox回归模型的结果才有效。检验这一假定条件的方法有：
1. 如果分类协变量的每一组别的Kaplan-Meier 生存曲线间无交叉，则满足比例风险假定。
2. 以生存时间t为横轴，对数生存率\(\ln [-\ln \hat{S}(t)]\)
为纵轴，绘制分类协变量每一组别的生存曲线，如果协变量各组别对应的曲线平行，则满足风险比例条件。
3. 对于连续型协变量，可将每个协变量与对数生存时间的交互作用项(X ln(t))放入回归模型中，如果交互作用项无统计学意义，则满足风险比例条件。
当风险比例的假定条件不成立时，可采用如下方法来解决：
1. 将不成比例关系的协变量作为分层变量，然后再用其余变量进行多因素Cox回归模型分析。
2. 采用参数回归模型替代Cox回归模型进行分析。
3. 对于连续型协变量，可将每个协变量与对数生存时间的交互作用项(X ln(t))放入回归模型中。
三、Cox比例风险回归模型实例
(一) 案例介绍
某肿瘤研究所收集了200例肺癌患者的生存数据：包括生存状态(status，1=“删失”，2=“死亡”)、生存时间(time，天)；性别(sex，1=“男”，2=“女”)、年龄 (age，岁)和卡氏评分(ph.karno)，部分数据见图1。现欲探究患者的性别、年龄、卡氏评分与生存结局的关系。
(二) 多因素Cox回归分析
1. 等比例风险检验
对多因素Cox比例风险模型中的自变量进行PH假定检验(图2)，结果显示整体检验P值<0.05，提示模型中存在不满足PH假定的变量。进一步查看各变量的PH假定检验结果，发现年龄(age)和性别(sex)的P值>0.1，而卡氏评分(ph.karno)的P值<0.05，提示年龄和性别满足PH假定，卡氏评分不满足PH假定。若不满足PH假定，则需要改用含时间依存协变量的Cox比例模型分析数据。
2. 含时间依存协变量的Cox比例风险模型
构建包含ph.karno时间依存协变量(T_COV_=ln(t+20))的Cox比例风险模型，结果如图3所示。分析结果显示，性别的效应值HR为0.616，表示女性死亡的风险比男性低38.4% (HR=0.616，95%CI：0.441~0.861；P=0.005)，年龄与生存结局的关联无统计学意义 (HR=1.013，95%CI：0.994~1.032；P=0.197)。卡氏评分的时依系数β(t)= -0.094+0.015×ln(t+20)，效应值HR=exp(-0.094+0.015×ln(t+20))。例如，当时间为200天时，卡氏评分对应的HR=exp(-0.094+0.015×ln(200+20))= 0.987。
四、因素的初步筛选与最佳模型的构建
(一) 因素的筛选
影响生存时间的因素称为协变量，当协变量较多时，在建立模型之前可对这些协变量进行筛选，即可进行Cox回归模型单因素分析。单变量分析筛选出的有统计学意义的变量，可继续进行多因素Cox回归模型分析。另外，如果某些协变量有明确的专业意义，无论它们在单因素分析中有无统计学意义均可纳入模型。如果研究的协变量不多，也未发现变量之间有明显的共线性，也可以直接将各协变量纳入模型进行逐步Cox回归模型分析。
(二) 最佳模型的建立
为建立最佳模型常需对研究的因素进行筛选，筛选因素的方法有前进法、后退法和逐步回归法，实际工作中要根据具体情况选择使用。在逐步筛选变量建立多因素Cox回归模型时需规定检验水准，以确定方程中引入哪些因素和剔除哪些因素，一般情况下确定引入检验水准为0.05，剔除检验水准为0.1，剔除水准应大于等于引入水准，以便引入后的变量不易被剔除。如果研究课题要求特别严格，可将引入检验水准定为0.01；如果研究课题要求比较宽松，可将引入检验水准定为0.2。检验各因素是否有统计学意义的方法有似然比检验、Wald检验和计分检验，在实际工作中可根据具体的情况而定。